Skip to content Skip to navigation

En Büyük Sayı Kaçtır?

Dr. Mahir E. Ocak
19/11/2015 - 17:16

Matematikte en büyük sayıyı ifade etmek için sonsuz terimi kullanılır ve bu sayı ∞ sembolüyle gösterilir. Her ne kadar sonsuz, matematiksel işlemler sırasında -örneğin limit hesaplarında- sıradan bir sayıymış gibi işlem görse de herhangi bir sayı kümesinin -örneğin reel sayıların ya da tam sayıların- elemanı değildir. Ancak şunu da belirtelim ki iki değerin ayrı ayrı sonsuza eşit olması birbirlerine de eşit oldukları anlamına gelmez. Bazı sonsuzluklar sayılabilir iken bazılarıysa sayılamazdır ve sayılamayan sonsuzluklar sayılabilen sonsuzluklardan daha büyüktür.

Asal sayıları (kendisinden ve 1’den başka böleni olmayan sayıları) ele alalım. Bu sayılar ile sayma sayıları (1, 2, 3, 4, ...) arasında bire bir eşleştirme yapmak mümkündür. Örneğin asal sayıları en küçük asal sayı olan 2’den başlayarak şu şekilde sayabiliriz:

1→2

2→3

3→5

4→7

5→11

6→13

Görüldüğü gibi sonsuz sayıda asal sayı olsa da bu sayılar ile sayma sayıları arasında bire bir eşleştirme bulmak mümkündür. Dolayısıyla bu durumda sayılabilir bir sonsuzlukla karşı karşıyayız. Benzer biçimde doğal sayılar (0, 1, 2, 3, ...) ve tam sayılar (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...) ile sayma sayıları arasında bire bir eşleştirmeler bulmak da mümkündür.

Reel sayıları ele aldığımız zamansa sayılamayan bir sonsuzlukla karşılaşırız. Esasen herhangi bir aralıkta -örneğin 1 ile 2 arasında veya 2,5 ile 3,7 arasında- bile tüm doğal sayılardan ya da tüm tam sayılardan daha fazla reel sayı vardır. Bu durumu (reel sayılar ile sayma sayıları arasında bire bir eşleşme yapılamayacağını) “olmayana ergi” yöntemiyle ispatlayabiliriz. 1 ile 2 arasındaki reel sayıları ele alalım ve bu aralıktaki reel sayılar ile sayma sayıları arasında bire bir eşleşme olduğunu varsayalım. Örneğin eşleştirmeleri içeren listedeki sayılardan bazıları şunlar olabilir: 1,0027539862, 1,30476296, 1,80746329, ... Şimdi de şu algoritmaya bağlı kalarak bir sayı yazmaya başlayalım: Sayımızın virgülden sonraki birinci basamağı, eşleştirmedeki ilk sayının virgülden sonraki birinci basamağından farklı olmak üzere herhangi bir rakam olsun. Örneğin listedeki ilk sayının virgülden sonraki birinci basamağı 3 ise biz sayımızın virgülden sonraki ilk basamağındaki rakamı 5, 7 ya da 8 olarak seçebiliriz. Daha sonra sayımızın virgülden sonraki ikinci basamağı listedeki ikinci sayının virgülden sonraki ikinci basamağından, virgülden sonraki üçüncü basamağı listedeki üçüncü sayının virgülden sonraki üçüncü basamağından farklı olacak şekilde rastgele rakamlar seçerek sayıyı oluşturmaya devam edelim. Sonuç olarak elde edeceğimiz sayının başlangıçta tüm reel sayıları içerdiğini varsaydığımız listede olmayacağı açıktır. Çünkü elde ettiğimiz sayının virgülden sonraki birinci basamağı listedeki ilk sayının virgülden sonraki birinci basamağından farklı olduğuna göre listedeki ilk sayıya eşit olamaz. Benzer biçimde virgülden sonraki ikinci basamağı listedeki ikinci sayının virgülden sonraki ikinci basamağından farklı olduğu için ikinci sayıya da eşit olamaz. Genel olarak elde ettiğimiz sayının virgülden sonraki  n. basamağı listedeki n. sayının virgülden sonraki n. basamağından farklı olduğu için bu sayı listedeki tüm sayılardan farklıdır. Başlangıçta 1 ile 2 arasındaki reel sayılar ile sayma sayıları arasında bire bir eşleştirme olduğunu varsaymıştık. Ancak çok basit bir algoritma kullanarak listede olmayan bir reel sayı bulmayı başardık. Bu durum başlangıçta yaptığımız varsayımın yanlış olduğunu, yani 1 ile 2 arasındaki reel sayılar ile sayma sayıları arasında bire bir eşleşme yapılamayacağını gösterir. Dolayısıyla 1 ile 2 arasında tüm sayma sayılarından, tüm doğal sayılardan ya da tüm tam sayılardan çok daha fazla reel sayı vardır. Benzer bir ispatı başka aralıklardaki reel sayılar için de yapmak mümkün olduğundan, yaptığımız çıkarım herhangi bir aralıktaki reel sayılar ve dolayısıyla tüm reel sayılar için de geçerlidir. Kısacası reel sayılar kümesi sayma sayıları, doğal sayılar ya da tam sayılar kümesinden çok daha büyüktür.
 

İlgili İçerikler

Matematik

Ayın Matematik Sorusu köşesinde Kasım 2019 sorusunu doğru çözenler belli oldu. Doğru çözümü gönderme zamanına göre sıralanmış bu listedeki ilk 3 kişi ve doğru çözenler arasından kura ile belirlenen 7 kişi TÜBİTAK popüler bilim kitaplarından hediye kazandı.

Matematik

Çiftlikte düzenlenen satranç turnuvasına katılan her cüce ya kırmızı ya da beyaz şapka takıyor. Her cüce ikilisinin kendi aralarında tam olarak bir maç yaptığı bu turnuvada her maçta kazanan...

Matematik

Ayın Matematik Sorusu köşesinde Ekim 2019 sorusunu doğru çözenler belli oldu. Doğru çözümü gönderme zamanına göre sıralanmış bu listedeki ilk 3 kişi ve doğru çözenler arasından kura ile belirlenen 7 kişi TÜBİTAK popüler bilim kitaplarından hediye kazandı.

Matematik

2019 tane benzer madeni paranın 1000 tanesi sahtedir. Her sahte paranın ağırlığı gerçek paranın ağırlığından ya 1 gram daha fazla ya da 1 gram daha azdır. Sol ve sağ kefelerindeki...

Matematik

Ayın Matematik Sorusu köşesinde Eylül 2019 s

Matematik

Tahtaya 1, 2, 3, ... , 100 sayıları yazılmıştır. Bu sayılardan hangi k tanesi silinirse silinsin, kalan sayılardan toplamı 100 sayısına eşit olan k tanesi bulunuyorsa, k’nin alabileceği en büyük değer nedir?

Matematik

Ayın Matematik Sorusu köşesinde Ağustos 2019 sorusunu doğru çözenler belli oldu. Doğru çözümü gönderme zamanına göre sıralanmış bu listedeki ilk 3 kişi ve doğru çözenler arasından kura ile belirlenen 7 kişi TÜBİTAK popüler bilim kitaplarından hediye kazandı.

Matematik

Bir çiftlikte yaşayan altı cüce hasat süresince her hafta bir veya birkaç cüceden oluşan bir grup belirliyor. Seçilen gruptaki cüceler bir hafta boyunca çalışırken diğer cüceler tatil yapıyor. Herhangi bir cücenin...

Matematik

Ayın Matematik Sorusu köşesinde Temmuz 2019 sorusunu doğru çözenler belli oldu. Doğru çözümü gönderme zamanına göre sıralanmış bu listedeki ilk 3 kişi ve doğru çözenler arasından kura ile belirlenen 7 kişi TÜBİTAK popüler bilim kitaplarından hediye kazandı. 

Matematik

Düzlemde koordinatları (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4),(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4) olan 16 nokta işaretlenmiştir. Tüm köşeleri işaretlenmiş noktalarda bulunan...