Skip to content Skip to navigation

Ortalama Sürat (Hız Değil!) Kolayca Nasıl Hesaplanır?

Yrd. Doç. Dr. Burak Karabey
22/01/2016 - 14:27

Sayılarla başlayan yazı serüvenimiz aynı “süratle” devam ediyor. Fen bilimleri ile ilgilenen arkadaşlarımın son zamanlardaki uyarıları sayesinde hız yerine sürat denilmesi gerektiğini öğrendim. Çünkü hız vektörel (yönlü), sürat ise skaler (yönsüz) bir büyüklüğü gösteriyormuş. Benzer bir durum üniversite sınavlarında sıkça karşılaşılan “işçi-havuz problemleri”nin adlandırılmasında da var. Bu problemlerle karşılaştığımda hep şöyle söylenirim: “Arkadaşım, bizim işçi kardeşimizle ya da havuzla bir problemimiz yok, bizim sorunumuz iş ve işin bitirilmesi”. Tabii bunu söyleyince yüzlerde gülümseme eksik olmaz. Hız problemlerinin de iş problemleri ile aynı kaderi paylaştığını öğrendiğime göre bundan sonra matematik dersinde hız problemlerine sürat problemleri demek gerektiğini yüksek sesle belirteyim.

Matematikte ortalamalar; sayılarla yapılan işlemler, istatistik ve çıkarımda bulunma açısından çok önemlidir. Ortalamaların en çok kullanılanları arasında aritmetik ortalama (A.O), geometrik ortalama (G.O) ve harmonik ortalama (H.O) sayılabilir. Bu ortalamalar aşağıdaki şekilde tanımlanır.

Bilimde en çok kullanılan ortalama hesabının iki toplamsal ifadenin oranı olduğunu söyleyebiliriz. Örneğin sürat ve ortalama sürat;

olarak hesaplanır. Bu noktada matematiksel bir kolaylığı kullanarak benzer ortalama hesaplamalarını daha hızlı yapabilirsiniz. Peki, nasıl? Örneklerle açıklayalım.

Eğer (toplam X) bölü (toplam Y) şeklinde bir ortalama  hesaplıyorsanız (ki ortalama sürat ya da ortalama yoğunluk hesaplarken tam da bunu yapıyoruz!) işte size matematiksel kolaylık.

1. Durum:    şeklinde bir hesaplama yaparken payda (Y’ler) kısmındaki tüm veriler eşitse aritmetik ortalama kullanılabilir.

Örnek: Sabit süratle hareket eden bir araç AB, BC ve CD arasını dörder saat süreyle almaktadır. A, B ve C şehirlerinden sırasıyla 70 km/sa, 20 km/sa ve 90 km/sa hızla hareket eden bu aracın AD yani tüm yol boyunca ortalama sürati kaçtır?

 olarak hesaplanırken bu soruda alınan yollardaki süreler (paydalar) eşit olduğundan ortalama sürati bulmak için aritmetik ortalama kullanılabilir.

Peki, bu hesap nereden geliyor? Şimdi, n tane aracımızın süratleri aldıkları yollar  olmak üzere her biri aynı/eşit  t  sürede yol alsın.

olarak yazılabilir.

Dolayısıyla (*) eşitliği kullanılarak,

Pay kısmı ortak t parantezine alınırsa,

t’ler sadeleştiğinde,

Böylece paydalar (yani süreler) eşit olduğunda ortalama sürati bulmak için aritmetik ortalama kullandığımız ortaya çıkar.

2. Durum:    şeklinde bir hesaplama yaparken paylar (X’ler) kısmındaki tüm veriler eşitse harmonik ortalama kullanılabilir. Örneğimizi başka bir ortalamada kullanalım, mesela sıvıların yoğunluğunu hesaplarken.

Örnek: Dört farklı sıvının yoğunlukları sırasıyla 2, 3, 4 ve 6 g/cm3 olarak veriliyor. Bu sıvılardan eşit kütlede alınarak sıvılar birbiriyle karıştırıldığında elde edilen karışımın yoğunluğu ne olur?

 ve burada sıvıların kütleleri eşit (paylar eşit) olduğundan harmonik ortalama kullanabiliriz.

Böylece bu tür ortalamaları -örneğin ortalama sürat, ortalama yoğunluk- hesaplarken daha kısa ve çabuk bir yöntem kullanmış oluruz. Aşağıdaki soru sizin için!

Son örnekte verdiğimiz durumun ispatı nasıl yapılır? Yani kütleler (paylar) eşitse harmonik ortalama neden kullanılır? İspatını yapabilir misiniz?

Not: İspatın doğruluğu için burak.karabey@deu.edu.tr adresine e-posta gönderebilirsiniz.

İlgili İçerikler

Matematik

1! ∙ 2! ∙ 3! ... 999! ∙ 1000! sayısı, k = 1, 2, … , 1000 olmak üzere, k! sayılarının çarpımlarıyla elde edilmiştir. Bu 1000 çarpandan gerekirse en az kaçını silerek kalan çarpımın bir tam kare olmasını sağlayabiliriz?

Matematik

Ayın Matematik Sorusu köşesinde Mayıs 2019 sorusunu doğru çözenler belli oldu. Doğru çözümü gönderme zamanına göre sıralanmış ilk 10 okurumuz Bilim Genç'ten kitap hediyesi kazandı.

Matematik

Matematik alanının Nobel Ödülü olarak kabul edilen Abel Ödülü’nün 2019 yılındaki sahibi ABD Texas Üniversitesi onursal profesörü Karen Keskulla Uhlenbeck oldu.

Matematik

Ağırlıkları birbirine eşit olan 150 bilye birkaç torbaya dağıtılıyor ve bundan sonra her torbanın üzerine bu torbadan daha hafif olan torbaların sayısı yazılıyor. Torbaların üzerine yazılmış sayıların toplamı en fazla kaç olabilir?

Matematik

Ayın Matematik Sorusu köşesinde Nisan 2019 sorusunu doğru çözenler belli oldu. Doğru çözümü gönderme zamanına göre sıralanmış ilk 10 okurumuz Bilim Genç'ten kitap hediyesi kazandı.

Matematik

Keloğlan ve birkaç cüce bir oyun oynuyorlar. İlk önce her cüce tahtaya 1, 2, ... , 2019 sayılarından birini seçip yazıyor (aynı sayı bir defadan fazla yazılamaz). Bundan sonra Keloğlan tahtadaki sayılardan istediklerini silip...

Matematik

Ayın Matematik Sorusu köşesinde Mart 2019 sorusunu doğru çözenler belli oldu. Doğru çözümü gönderme zamanına göre sıralanmış ilk 10 okurumuz Bilim Genç'ten kitap hediyesi kazandı.

Matematik

Matematikçileri bir araya getiren Pi Günü’nü Bilim Genç dergisi bu sene yeniden simit ve üçgen peynir ile kutlayacak. Prof. Dr. Azer Kerimov ve Prof. Dr. Abdurrahman Muhammed Uludağ’ın katılacağı Bilim Üsküdar’daki etkinliğe tüm matematik severler katılabilir.

Matematik

Olasılık, geometri ve fizik gibi alanlardaki hesaplama ve formüllerde karşımıza çıkan pi sayısını çevremizde de bulabiliriz. Pi Günü’nü barındıran mart ayında objektiflerinizi çevrenizdeki dairesel şekillere odaklamanızı istiyoruz. Fotoğraflarınızı Bilim Genç’te paylaşırken açıklama bölümüne #ÇevremizdekiPi etiketini eklemeyi unutmayın.

Matematik

1, 2, ..., n sayıları, grupların hiçbirinde toplamları bir tam kareye eşit olan iki farklı sayı bulunmayacak şekilde iki gruba ayrılabiliyor. Buna göre, n’nin alabileceği en büyük değer nedir?