Skip to content Skip to navigation

Ortalama Sürat (Hız Değil!) Kolayca Nasıl Hesaplanır?

Yrd. Doç. Dr. Burak Karabey
22/01/2016 - 14:27

Sayılarla başlayan yazı serüvenimiz aynı “süratle” devam ediyor. Fen bilimleri ile ilgilenen arkadaşlarımın son zamanlardaki uyarıları sayesinde hız yerine sürat denilmesi gerektiğini öğrendim. Çünkü hız vektörel (yönlü), sürat ise skaler (yönsüz) bir büyüklüğü gösteriyormuş. Benzer bir durum üniversite sınavlarında sıkça karşılaşılan “işçi-havuz problemleri”nin adlandırılmasında da var. Bu problemlerle karşılaştığımda hep şöyle söylenirim: “Arkadaşım, bizim işçi kardeşimizle ya da havuzla bir problemimiz yok, bizim sorunumuz iş ve işin bitirilmesi”. Tabii bunu söyleyince yüzlerde gülümseme eksik olmaz. Hız problemlerinin de iş problemleri ile aynı kaderi paylaştığını öğrendiğime göre bundan sonra matematik dersinde hız problemlerine sürat problemleri demek gerektiğini yüksek sesle belirteyim.

Matematikte ortalamalar; sayılarla yapılan işlemler, istatistik ve çıkarımda bulunma açısından çok önemlidir. Ortalamaların en çok kullanılanları arasında aritmetik ortalama (A.O), geometrik ortalama (G.O) ve harmonik ortalama (H.O) sayılabilir. Bu ortalamalar aşağıdaki şekilde tanımlanır.

Bilimde en çok kullanılan ortalama hesabının iki toplamsal ifadenin oranı olduğunu söyleyebiliriz. Örneğin sürat ve ortalama sürat;

olarak hesaplanır. Bu noktada matematiksel bir kolaylığı kullanarak benzer ortalama hesaplamalarını daha hızlı yapabilirsiniz. Peki, nasıl? Örneklerle açıklayalım.

Eğer (toplam X) bölü (toplam Y) şeklinde bir ortalama  hesaplıyorsanız (ki ortalama sürat ya da ortalama yoğunluk hesaplarken tam da bunu yapıyoruz!) işte size matematiksel kolaylık.

1. Durum:    şeklinde bir hesaplama yaparken payda (Y’ler) kısmındaki tüm veriler eşitse aritmetik ortalama kullanılabilir.

Örnek: Sabit süratle hareket eden bir araç AB, BC ve CD arasını dörder saat süreyle almaktadır. A, B ve C şehirlerinden sırasıyla 70 km/sa, 20 km/sa ve 90 km/sa hızla hareket eden bu aracın AD yani tüm yol boyunca ortalama sürati kaçtır?

 olarak hesaplanırken bu soruda alınan yollardaki süreler (paydalar) eşit olduğundan ortalama sürati bulmak için aritmetik ortalama kullanılabilir.

Peki, bu hesap nereden geliyor? Şimdi, n tane aracımızın süratleri aldıkları yollar  olmak üzere her biri aynı/eşit  t  sürede yol alsın.

olarak yazılabilir.

Dolayısıyla (*) eşitliği kullanılarak,

Pay kısmı ortak t parantezine alınırsa,

t’ler sadeleştiğinde,

Böylece paydalar (yani süreler) eşit olduğunda ortalama sürati bulmak için aritmetik ortalama kullandığımız ortaya çıkar.

2. Durum:    şeklinde bir hesaplama yaparken paylar (X’ler) kısmındaki tüm veriler eşitse harmonik ortalama kullanılabilir. Örneğimizi başka bir ortalamada kullanalım, mesela sıvıların yoğunluğunu hesaplarken.

Örnek: Dört farklı sıvının yoğunlukları sırasıyla 2, 3, 4 ve 6 g/cm3 olarak veriliyor. Bu sıvılardan eşit kütlede alınarak sıvılar birbiriyle karıştırıldığında elde edilen karışımın yoğunluğu ne olur?

 ve burada sıvıların kütleleri eşit (paylar eşit) olduğundan harmonik ortalama kullanabiliriz.

Böylece bu tür ortalamaları -örneğin ortalama sürat, ortalama yoğunluk- hesaplarken daha kısa ve çabuk bir yöntem kullanmış oluruz. Aşağıdaki soru sizin için!

Son örnekte verdiğimiz durumun ispatı nasıl yapılır? Yani kütleler (paylar) eşitse harmonik ortalama neden kullanılır? İspatını yapabilir misiniz?

Not: İspatın doğruluğu için burak.karabey@deu.edu.tr adresine e-posta gönderebilirsiniz.

İlgili İçerikler

Matematik

Ayın Matematik Sorusu köşesinde Kasım 2019 sorusunu doğru çözenler belli oldu. Doğru çözümü gönderme zamanına göre sıralanmış bu listedeki ilk 3 kişi ve doğru çözenler arasından kura ile belirlenen 7 kişi TÜBİTAK popüler bilim kitaplarından hediye kazandı.

Matematik

Çiftlikte düzenlenen satranç turnuvasına katılan her cüce ya kırmızı ya da beyaz şapka takıyor. Her cüce ikilisinin kendi aralarında tam olarak bir maç yaptığı bu turnuvada her maçta kazanan...

Matematik

Ayın Matematik Sorusu köşesinde Ekim 2019 sorusunu doğru çözenler belli oldu. Doğru çözümü gönderme zamanına göre sıralanmış bu listedeki ilk 3 kişi ve doğru çözenler arasından kura ile belirlenen 7 kişi TÜBİTAK popüler bilim kitaplarından hediye kazandı.

Matematik

2019 tane benzer madeni paranın 1000 tanesi sahtedir. Her sahte paranın ağırlığı gerçek paranın ağırlığından ya 1 gram daha fazla ya da 1 gram daha azdır. Sol ve sağ kefelerindeki...

Matematik

Ayın Matematik Sorusu köşesinde Eylül 2019 s

Matematik

Tahtaya 1, 2, 3, ... , 100 sayıları yazılmıştır. Bu sayılardan hangi k tanesi silinirse silinsin, kalan sayılardan toplamı 100 sayısına eşit olan k tanesi bulunuyorsa, k’nin alabileceği en büyük değer nedir?

Matematik

Ayın Matematik Sorusu köşesinde Ağustos 2019 sorusunu doğru çözenler belli oldu. Doğru çözümü gönderme zamanına göre sıralanmış bu listedeki ilk 3 kişi ve doğru çözenler arasından kura ile belirlenen 7 kişi TÜBİTAK popüler bilim kitaplarından hediye kazandı.

Matematik

Bir çiftlikte yaşayan altı cüce hasat süresince her hafta bir veya birkaç cüceden oluşan bir grup belirliyor. Seçilen gruptaki cüceler bir hafta boyunca çalışırken diğer cüceler tatil yapıyor. Herhangi bir cücenin...

Matematik

Ayın Matematik Sorusu köşesinde Temmuz 2019 sorusunu doğru çözenler belli oldu. Doğru çözümü gönderme zamanına göre sıralanmış bu listedeki ilk 3 kişi ve doğru çözenler arasından kura ile belirlenen 7 kişi TÜBİTAK popüler bilim kitaplarından hediye kazandı. 

Matematik

Düzlemde koordinatları (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4),(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4) olan 16 nokta işaretlenmiştir. Tüm köşeleri işaretlenmiş noktalarda bulunan...