Skip to content Skip to navigation

Yüzey Döşemeleri

Dr. Mahir E. Ocak
25/09/2018 - 10:34

Özdeş geometrik şekiller kullanarak yüzeyleri döşemek, çok eski zamanlardan beri insanların zihnini meşgul eden matematik problemlerinden biri. Bu amaçla kullanılabilecek çeşitli şekiller biliniyor. 1918 yılında Karl Reinhardt yüzey döşemesi olarak kullanılabilecek tüm geometrik şekillerin bulunması ve listelenmesi konusunda bir çalışma başlattı. Aradan geçen zamanda amatörler de dâhil olmak üzere pek çok matematikçi bu konu üzerinde çalıştı. En son 2015 yılında 30 yıl aradan sonra yeni bir beşgen keşfedildi. Ancak listenin tamamlanıp tamamlanmadığı, başka bir deyişle hâlâ yeni geometrik şekiller keşfetmenin mümkün olup olmadığı bilinmiyordu. Michaël Rao, arXiv’e yüklediği bir makalede mümkün olan tüm geometrik şekillerin keşfedildiğini gösterdi.

 

Üçgen Yüzey Döşemeleri

Herhangi bir üçgenle yüzey döşemek mümkündür (bkz. aşağıdaki şekiller).

Wikipedia

 

Dörtgen Yüzey Döşemeleri

Üçgenlerde olduğu gibi herhangi bir dörtgenle de yüzeyleri döşemek mümkündür (bkz. aşağıdaki şekiller).

http://www.tonibest.com/cdn/6/2002/430/

 

Altıgen Yüzey Döşemeleri

Üçgenlerin ve dörtgenlerin aksine herhangi bir altıgenle bir yüzeyi döşemek mümkün değildir. Bir yüzeyi hiç boşluk bırakmaksızın kaplayabilecek üç tür altıgen olduğu biliniyor.

b=e, B+C+D=360°

 

b=e, d=f, B+C+E=360°

 

a=f, b=c, d=e, B=D=F=120°

Düzgün altıgen yukarıdaki türün tüm kenarları birbirine eşit olan özel bir durumudur.

 

Yedigen ve Daha Büyük Çokgenler

Yedigenlerle ve daha büyük çokgenlerle bir yüzeyi döşemek mümkün değildir.

 

Beşgenler

Yüzey döşemeleri konusunda matematikçilerin zihnini en çok meşgul eden çokgenlerin beşgenler olduğu söylenebilir. Düzgün beşgenlerle (tüm kenarları aynı uzunlukta beşgenlerle) hiç boşluk bırakmaksızın bir yüzeyi kaplamak imkânsızdır. Ancak düzgün olmayan beşgenlerle mümkündür. 1918-2015 arasında 15 ayrı tür beşgenin bu amaçla kullanılabileceği bulunmuştu. Ancak gelecekte başka tür beşgenlerin de keşfedilmesinin mümkün olup olmadığı bilinmiyordu.

Michaël Rao ilk olarak bir yazılım yardımıyla tüm olasılıkları taramış ve 371 tür beşgenin yüzey döşemesi olarak kullanılabilecek potansiyele sahip olduğunu görmüş. Daha sonra bu beşgen türlerinin tamamını tek tek test etmiş ve sadece 19’unun gerekli tüm koşulları sağladığını belirlemiş. Bu 19 türün 15’i daha önceden de bilinenler. Geriye kalan 4 türse sadece diğer 15 türün özel durumları (bkz. aşağıdaki şekil). Dolayısıyla Rao’nun çalışmaları bugün yüzey döşemesi olarak kullanılabilecek tüm beşgen türlerinin ve dolayısıyla tüm çokgen türlerinin zaten bilindiğini ve gelecekte yeni türlerin keşfedilemeyeceğini gösteriyor. Böylece yüz yıldır matematikçilerin zihnini meşgul eden bir soru da cevaplanmış oluyor.

 

 

 

İlgili İçerikler

Matematik

Ayın Matematik Sorusu köşesinde Temmuz 2019 sorusunu doğru çözenler belli oldu. Doğru çözümü gönderme zamanına göre sıralanmış bu listedeki ilk 3 kişi ve doğru çözenler arasından kura ile belirlenen 7 kişi TÜBİTAK popüler bilim kitaplarından hediye kazandı. 

Matematik

Düzlemde koordinatları (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4),(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4) olan 16 nokta işaretlenmiştir. Tüm köşeleri işaretlenmiş noktalarda bulunan...

Matematik

Sayılar kuramı ile ilgili en önemli uluslararası organizasyonlarından biri olan Aritmetik Günleri (Journées Arithmétiques) bu yıl 1-5 Temmuz arasında İstanbul Üniversitesinin ev sahipliğinde düzenleniyor. İki yılda bir düzenlenen etkinliğe her seferinde bir Avrupa ülkesi ev sahipliği yapıyor.

Matematik

Keloğlan ağırlıkları 1, 2, 3, .... , 100 gram olan yüz altın sikkeyi sırayla mağaradaki bir deliğe atıyor. Keloğlan bu işlemi, ilk atılan sikke dışındaki her sikke kendisinden bir önce atılmış...

Matematik

Ayın Matematik Sorusu köşesinde Haziran 2019 sorusunu doğru çözenler belli oldu. Doğru çözümü gönderme zamanına göre sıralanmış ilk 10 okurumuz Bilim Genç'ten kitap hediyesi kazandı.

Matematik

1! ∙ 2! ∙ 3! ... 999! ∙ 1000! sayısı, k = 1, 2, … , 1000 olmak üzere, k! sayılarının çarpımlarıyla elde edilmiştir. Bu 1000 çarpandan gerekirse en az kaçını silerek kalan çarpımın bir tam kare olmasını sağlayabiliriz?

Matematik

Ayın Matematik Sorusu köşesinde Mayıs 2019 sorusunu doğru çözenler belli oldu. Doğru çözümü gönderme zamanına göre sıralanmış ilk 10 okurumuz Bilim Genç'ten kitap hediyesi kazandı.

Matematik

Matematik alanının Nobel Ödülü olarak kabul edilen Abel Ödülü’nün 2019 yılındaki sahibi ABD Texas Üniversitesi onursal profesörü Karen Keskulla Uhlenbeck oldu.

Matematik

Ağırlıkları birbirine eşit olan 150 bilye birkaç torbaya dağıtılıyor ve bundan sonra her torbanın üzerine bu torbadan daha hafif olan torbaların sayısı yazılıyor. Torbaların üzerine yazılmış sayıların toplamı en fazla kaç olabilir?

Matematik

Ayın Matematik Sorusu köşesinde Nisan 2019 sorusunu doğru çözenler belli oldu. Doğru çözümü gönderme zamanına göre sıralanmış ilk 10 okurumuz Bilim Genç'ten kitap hediyesi kazandı.